אלישיב הוא בוגר המחזור הראשון של ישיבת ההסדר בירוחם וחבר במליאת בני עקיבא, היה חבר מערכת בעיתון נקודה וכותב במקור ראשון משנת 2000. עבד בתחום התוכן בערוצי טלוויזיה. פרסם שבעה ספרים על החברה הישראלית.